聊一聊Puzzle：从幻方到数独

导语：还有一个值得一提的幻方研究者是印刷在100美元钞票上的那位本杰明·富兰克林，这位先生一生成就颇多，他最有名的幻方创作是一个8阶幻方，并且这个幻方也被称为‘富兰克林幻方’（Franklin Magic Square）。据说他本

　　还有一个值得一提的幻方研究者是印刷在100美元钞票上的那位本杰明·富兰克林，这位先生一生成就颇多，他最有名的幻方创作是一个8阶幻方，并且这个幻方也被称为‘富兰克林幻方’（Franklin Magic Square）。据说他本人曾经表示过当他觉得无聊的时候就会琢磨幻方来解闷。遗憾的是，这个幻方存在和百子图一样的错误：两条对角线的数字之和并不相等。有趣的是后来富兰克林在和别人比较过幻方之后觉得自己的幻方不够牛逼，结果楞是又搞出来一个16阶的特大幻方。当然这个幻方对角线还是存在和不相等的问题，传统艺能。

　　Melencolia I， Albrecht Dürer， 1514

　　幻方铁板

　　富兰克林幻方

　　除了正方形之外，幻方的形式也被拓展到了其他图形当中，如三角形、星形、立体情况等，这些不同形式的幻方样式被统称为Magic polygons。杨辉在他的《续古摘奇算法》里给出了几个基于圆形制作的‘幻圆’，并命名为攒九图、八阵图、连环图等等。另一种有趣的形式是蜂窝状的Magic hexagon，国内的文献中有个有趣的译名‘魔蜂窝’。

　　魔蜂窝有一个别称叫做‘38 puzzle’，这个名称得来的原因是魔蜂窝任意直线上数字之和均为38。而正因如此，魔蜂窝的制作无比困难，有趣的是最早的魔蜂窝诞生记录可以追溯到1887年，但是之后的几十年中仍然有几个人宣称自己首先发明了魔蜂窝。据说其中一个制作者花了近50年才找到解法，中途还把解法弄丢过一次，因此等到他最终整理好时已经到1962年了。 

　　杨辉‘八阵图’

　　幻立方体

　　魔蜂窝，‘38 puzzle’

　　目前，幻方的研究方向众多，并且也有了很多成熟的理论研究成果。幻方本身甚至也被尝试应用到了艺术设计等领域。今天的幻方已经基本摆脱了古时候神秘学的色彩，现在人们一般仅把幻方视为数学问题来研究。由于高阶幻方有着远超于3阶幻方的对称性，并且不同种类、不同阶数的幻方还有着更为复杂的性质，再加上俗话说多一个公式少一半读者，…因此在这里就不再多作详细介绍了。当然，国内外关于幻方的研究文献和科普书籍等材料也非常丰富，有兴趣的各位可以去进行更深入的了解。

　　最后再补充一点关于puzzle的内容。实际上，制作幻方本身已经是一个难度较高的谜题了，所以幻方相关的谜题往往都很相似，基本形式就是给出一个图形并要求填上数字，使得各边数字之和相等，或者满足其他条件。这类谜题的区别一般只体现在幻方的各种表现形式上。下图就是一个非常巧妙的谜题，这个图形里需要填入1到11这十一个数字使每条直线上数字之和相等，其中有标记的几个空是题目的突破口。这个谜题非常值得去挑战一下！

　　题目出自《趣味数学300题》

　　答案

　　由拉丁幻方到数独游戏

　　在18世纪，大名鼎鼎的数学家欧拉提出过这样一种特殊的方阵：与幻方类似，但是方阵组成的元素不是数字而是拉丁字母；并且每一个字符在每行每列中仅出现一次。这种方阵被称为‘拉丁幻方’（Latin square）。拉丁幻方有很强的实用价值，一个典型的应用案例是将拉丁幻方利用在统计学中的试验设计中，通过使用拉丁幻方的形式来设置安排试验个体，可以有效提高试验的精确性，达到减少误差的目的。这种方法也被称为‘拉丁方设计’。 

　　拉丁幻方

　　很容易看出，目前的9×9形式的数独就是非常标准的拉丁幻方。当然并不是每个9阶拉丁幻方都是数独，因为拉丁幻方本身并没有限制自身3×3的子幻方（在数独术语中， 这部分被称为‘宫’）也要有不存在重复数字的要求。实际上，数独作为拉丁幻方特殊情况，只占全体拉丁幻方中的极小一部分。全部的标准数独组合数量在大约为6.67×10^21个，而9阶拉丁幻方的全部组合一共有5.5×10^27个，对比相当悬殊。不过即便如此，数独的不同组合情况总数也是一个天文数字，同时每一个数独的盘面都可以对应制作成千上万道不同的题目，因此完全不需要去担心数独的题库会被刷干净。

（编辑：二游网_173173游戏网）

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